Виробнича функція для фермерського господарства виглядає як q = 43,2х + 7,5х2 – 1,1х3, де х - обсяг...

Виробнича функція, яку ви навели, описує залежність обсягу зібраного врожаю ( q ) від обсягу добрив ( x ), внесених на один гектар. Функція має вигляд:

[ q = 43.2x + 7.5x^2 - 1.1x^3 ]

де ( q ) – обсяг врожаю в центнерах з гектара, а ( x ) – кількість добрив у кілограмах на гектар.

Для визначення максимального врожаю, який можна отримати з одного гектара, необхідно знайти таке значення ( x ), при якому виробнича функція досягає свого максимуму. Це завдання оптимізації, і його можна вирішити, взявши похідну від функції і прирівнявши її до нуля.

1. Знайдемо похідну функції ( q ) по ( x ):

[ \frac{dq}{dx} = 43.2 + 15x - 3.3x^2 ]

1. Прирівнюємо похідну до нуля, щоб знайти критичні точки:

[ 43.2 + 15x - 3.3x^2 = 0 ]

Це квадратне рівняння відносно ( x ). Розв’яжемо його:

[ 3.3x^2 - 15x - 43.2 = 0 ]

Використаємо дискримінант для знаходження коренів:

[ D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 3.3 \cdot (-43.2) ]

[ D = 225 + 570.24 = 795.24 ]

Знаходимо корені:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{795.24}}{6.6} ]

Обчислимо значення:

[ x_1 = \frac{15 + \sqrt{795.24}}{6.6} ]

[ x_2 = \frac{15 - \sqrt{795.24}}{6.6} ]

Обчислимо значення коренів:

[ x_1 \approx \frac{15 + 28.2}{6.6} \approx 6.545 ]

[ x_2 \approx \frac{15 - 28.2}{6.6} \approx -1.996 ]

Оскільки кількість добрив не може бути від’ємною, розглядаємо тільки ( x_1 \approx 6.545 ) кг/га.

1. Перевіримо, що це дійсно максимум:

Візьмемо другу похідну:

[ \frac{d^2q}{dx^2} = 15 - 6.6x ]

Підставимо ( x = 6.545 ):

[ \frac{d^2q}{dx^2} = 15 - 6.6 \cdot 6.545 \approx -28.227 ]

Друга похідна від'ємна, отже, це дійсно точка максимуму.

1. Знайдемо максимальний врожай на 1 гектар:

Підставимо ( x = 6.545 ) в початкову функцію:

[ q = 43.2 \cdot 6.545 + 7.5 \cdot (6.545)^2 - 1.1 \cdot (6.545)^3 ]

Обчислимо результат:

[ q \approx 282.264 ]

1. Максимальний врожай на всій площі (1000 га):

[ Q = q \cdot 1000 \approx 282264 \text{ центнерів} ]

Таким чином, максимальний врожай з 1000 га становитиме приблизно 282,264 центнерів, якщо вносити приблизно 6.545 кг добрив на гектар.

Для нахождения максимального урожая необходимо найти экстремум виробничей функции. Для этого необходимо найти производную функции по объему добрив х и приравнять ее к нулю:

q' = 43,2 + 15х - 3,3х^2 = 0

3,3х^2 - 15х - 43,2 = 0

D = 15^2 - 43,3(-43,2) = 225 + 571,2 = 796,2

x = (15 ± √796,2) / 6,6

x ≈ (15 ± 28,24) / 6,6

x1 ≈ 6,42 кг/га, x2 ≈ -1,29 кг/га

Так как объем добрив не может быть отрицательным, то x = 6,42 кг/га.

Для нахождения максимального урожая у подставляем найденное значение x в виробничую функцию:

q = 43,26,42 + 7,5(6,42)^2 - 1,1*(6,42)^3 ≈ 342,33

Таким образом, максимальный урожай составит приблизительно 342,33 тонны, а необходимо внести 6,42 кг добрив на каждый гектар при площади угодий в 1000 гектаров.

Максимальний врожай може бути 88,2 ц, а для його отримання потрібно внести 90 кг добрив на 1 га.