Производственная функция фирмы, являющейся совершенным конкурентом на рынке готовой продукции в краткосрочном периоде имеет вид: Q = 60 * L^0,5, где L - количество работников. Цена готовой продукции - 8 дол., а уровень заработной платы - 30 дол. Рынок труда является конкурентным. Определите, сколько работников наймет фирма, максимизирующая свою прибыль.
Для определения оптимального количества работников, которое фирма должна нанять для максимизации прибыли, необходимо учесть, что прибыль фирмы вычисляется по формуле: П = PQ - WL, где P - цена продукции, Q - количество продукции, W - заработная плата, L - количество работников.
Исходя из данной производственной функции, мы можем выразить количество продукции Q через количество работников L: Q = 60 * L^0,5. Зная цену продукции P = 8 долларов и заработную плату W = 30 долларов, мы можем подставить все значения в формулу для прибыли и определить оптимальное количество работников.
Прибыль фирмы: П = 8 60 L^0,5 - 30 L = 480 L^0,5 - 30 * L.
Для максимизации прибыли необходимо найти производную прибыли по количеству работников и приравнять её к нулю: dП/dL = 0.
d(480 L^0,5 - 30 L)/dL = 0, 240 L^(-0,5) - 30 = 0, 240 (1/L^0,5) - 30 = 0, 240/L^0,5 - 30 = 0, 240/L^0,5 = 30, L^0,5 = 240/30, L^0,5 = 8, L = 8^2 = 64.
Таким образом, фирма должна нанять 64 работника, чтобы максимизировать свою прибыль.
Для максимизации прибыли фирме необходимо выбрать количество работников, при котором предельный продукт труда равен предельному продукту труда, умноженному на цену продукции, деленную на заработную плату.
Предельный продукт труда (MPL) = 30 L^-0,5 Прибыль (π) = 8 Q - 30 L Предельная прибыль (MП) = 8 MPL - 30
Уравнение предельной прибыли: 8 30 L^-0,5 - 30 = 0 240 L^-0,5 - 30 = 0 240 = 30 L^0,5 8 = L^0,5 L = 64
Фирма наймет 64 работника, чтобы максимизировать свою прибыль.
Для решения данной задачи нам необходимо максимизировать прибыль фирмы, которая определяется как разница между выручкой и издержками. Фирма является совершенным конкурентом на рынке продукции, следовательно, она воспринимает цену как заданную и не может на нее влиять. Также рынок труда конкурентен, что означает, что фирма воспринимает уровень заработной платы как заданный и не может его изменить.
Выручка (R) фирмы рассчитывается как произведение цены продукции (P) на количество произведенной продукции (Q), т.е. R = P Q. В данной задаче P = 8 дол., а Q = 60 L^0,5.
R = 8 (60 L^0,5) = 480 * L^0,5
Издержки (C) фирмы состоят из затрат на оплату труда, которые рассчитываются как произведение уровня заработной платы на количество нанятых работников (L). В данной задаче уровень заработной платы равен 30 дол.
C = 30 * L
Прибыль (π) фирмы рассчитывается как разница между выручкой и издержками:
π = R - C = 480 L^0,5 - 30 L
Чтобы найти оптимальное количество нанятых работников (L), максимизирующее прибыль, нам нужно взять производную прибыли по L и приравнять ее к нулю:
dπ/dL = 480 0.5 L^(-0.5) - 30 = 240 * L^(-0.5) - 30 = 0
Решим уравнение 240 * L^(-0.5) - 30 = 0 для L:
240 * L^(-0.5) = 30 L^(-0.5) = 30 / 240 L^(-0.5) = 1/8 L^0.5 = 8 L = 8^2 = 64
Следовательно, фирма должна нанять 64 работника, чтобы максимизировать свою прибыль.
