Пожалуйста, помогите решить задание по экономике. Средние издержки фирмы монополиста описываются уравнением AC = Q2 – 12Q + 48, а средняя выручка AR = 18 – 1,5Q. Определите оптимальный объем выпуска и цену, которую фирма-монополист установит на свою продукцию.
Мне не нужен голый ответ. Покажите, пожалуйста, коротко решение, чтобы я разобрался и сам потом решил.
Для решения задачи по определению оптимального объема выпуска и цены, которую установит монополист, нам нужно найти объем выпуска, при котором монополист максимизирует свою прибыль. Для этого мы будем использовать уравнения средних издержек (AC) и средней выручки (AR).
Чтобы найти оптимальный объем выпуска, сначала определим предельные издержки (MC). Мы знаем, что средние издержки (AC) описываются следующим уравнением:
[ AC = Q^2 - 12Q + 48 ]
Предельные издержки (MC) можно найти, взяв производную от функции общих издержек (TC). Общие издержки (TC) можно получить, умножив средние издержки на количество продукции (Q):
[ TC = AC \times Q = (Q^2 - 12Q + 48) \times Q = Q^3 - 12Q^2 + 48Q ]
Теперь найдем производную от TC:
[ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = 3Q^2 - 24Q + 48 ]
Предельная выручка (MR) для монополиста может быть найдена, взяв производную от функции общей выручки (TR). Общая выручка (TR) равна средняя выручка (AR) умноженная на количество продукции (Q):
[ TR = AR \times Q = (18 - 1.5Q) \times Q = 18Q - 1.5Q^2 ]
Теперь найдем производную от TR:
[ MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 18 - 3Q ]
Монополист максимизирует прибыль, когда предельные издержки равны предельной выручке:
[ MC = MR ]
Подставим полученные уравнения:
[ 3Q^2 - 24Q + 48 = 18 - 3Q ]
Соберем все в одну сторону:
[ 3Q^2 - 21Q + 30 = 0 ]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 30 = 441 - 360 = 81 ]
Теперь найдем корни:
[ Q = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 9}{6} ]
Это дает два значения:
Теперь нужно определить цену, которую монополист установит для каждого из объемов. Используем уравнение средней выручки (AR):
Для ( Q = 5 ): [ AR = 18 - 1.5 \cdot 5 = 18 - 7.5 = 10.5 ]
Для ( Q = 2 ): [ AR = 18 - 1.5 \cdot 2 = 18 - 3 = 15 ]
Таким образом, у нас есть два возможных объема выпуска: 5 и 2. Однако, чтобы максимизировать прибыль, мы выбираем более высокий объем, где цена ниже, но возможно, с большей продажей. В этом случае оптимальный объем выпуска составляет 5 единиц, а цена — 10.5.
Понимание этих шагов поможет вам самостоятельно решать подобные задачи в будущем.
Конечно! Давайте разберем это задание шаг за шагом. Оно связано с нахождением оптимального объема выпуска и цены для фирмы-монополиста. В основе задачи лежат правила максимизации прибыли.
Для максимизации прибыли монополист выбирает такой объем выпуска ( Q ), при котором предельная выручка (MR) равна предельным издержкам (MC).
То есть:
[
MR = MC
]
Средняя выручка ( AR ) (она же цена ( P )) задана уравнением:
[
AR = 18 - 1.5Q
]
Общая выручка ( TR ) (Total Revenue) равна:
[
TR = P \cdot Q = AR \cdot Q
]
Подставляем ( AR ):
[
TR = Q \cdot (18 - 1.5Q) = 18Q - 1.5Q^2
]
Предельная выручка ( MR ) — это производная от общей выручки ( TR ) по ( Q ):
[
MR = \frac{d(TR)}{dQ} = \frac{d(18Q - 1.5Q^2)}{dQ} = 18 - 3Q
]
Итак, уравнение для предельной выручки:
[
MR = 18 - 3Q
]
Средние издержки ( AC ) заданы уравнением:
[
AC = Q^2 - 12Q + 48
]
Общие издержки ( TC ) (Total Cost) равны:
[
TC = AC \cdot Q = Q \cdot (Q^2 - 12Q + 48) = Q^3 - 12Q^2 + 48Q
]
Предельные издержки ( MC ) — это производная от общих издержек ( TC ) по ( Q ):
[
MC = \frac{d(TC)}{dQ} = \frac{d(Q^3 - 12Q^2 + 48Q)}{dQ} = 3Q^2 - 24Q + 48
]
Итак, уравнение для предельных издержек:
[
MC = 3Q^2 - 24Q + 48
]
Для максимизации прибыли приравниваем ( MR = MC ):
[
18 - 3Q = 3Q^2 - 24Q + 48
]
Переносим все в одну сторону:
[
3Q^2 - 24Q + 48 + 3Q - 18 = 0
]
[
3Q^2 - 21Q + 30 = 0
]
Сократим на 3:
[
Q^2 - 7Q + 10 = 0
]
Решаем квадратное уравнение:
[
Q = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}
]
[
Q = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}
]
Получаем два корня:
[
Q_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5, \quad Q_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2
]
Мы выбираем тот объем ( Q ), который соответствует максимизации прибыли. Проверка показывает, что ( Q = 5 ) — оптимальный объем выпуска (так как ( Q = 2 ) дает меньшую прибыль для данного уравнения).
Теперь, зная ( Q = 5 ), подставим его в уравнение средней выручки (цены):
[
AR = 18 - 1.5Q
]
[
P = 18 - 1.5 \cdot 5 = 18 - 7.5 = 10.5
]
Оптимальный объем выпуска:
[
Q = 5
]
Цена:
[
P = 10.5
]
Таким образом, монополист максимизирует свою прибыль при объеме выпуска ( Q = 5 ) и цене ( P = 10.5 ).
