Потребитель тратит 20 руб. в день на апельсины и яблоки. Предельная полезность яблок для него равна 20 – 3х, где х – количество яблок, в шт. Предельная полезность апельсинов равна 40 – 5у, где у – количество апельсинов, в шт. Цена одного яблока составляет 1 руб., цена одного апельсина – 5 руб. Какое количество яблок и апельсинов купит рациональный потребитель?
Для ответа на ваш вопрос, мы должны максимизировать полезность потребителя при данных ограничениях. Потребитель будет стремиться приравнять предельную полезность за рубль, потраченный на каждый товар, к максимально возможному уровню.
Предельная полезность за рубль для каждого товара рассчитывается как предельная полезность делённая на цену товара. Для яблок это будет: [ \frac{20 - 3x}{1} = 20 - 3x ] Для апельсинов это будет: [ \frac{40 - 5y}{5} = 8 - y ]
Чтобы максимизировать полезность, потребитель должен приравнять предельные полезности за рубль друг другу и при этом уложиться в свой бюджет. Таким образом, мы имеем: [ 20 - 3x = 8 - y ] Также у нас есть бюджетное ограничение: [ x + 5y = 20 ]
Теперь решим систему уравнений для x и y. Из первого уравнения выразим y: [ y = 12 - 3x ]
Подставим это в бюджетное ограничение: [ x + 5(12 - 3x) = 20 \ x + 60 - 15x = 20 \ -14x = -40 \ x = \frac{40}{14} \approx 2.86 ]
Теперь найдем y: [ y = 12 - 3 \times 2.86 \approx 12 - 8.58 = 3.42 ]
Однако, так как мы не можем купить дробное количество фруктов, мы округлим значения до ближайших целых, удовлетворяющих бюджетному ограничению и максимизирующих полезность. Если x примерно равно 3, и y примерно равно 3, то стоимость будет: [ 3 + 5 \times 3 = 18 ]
Теперь проверим, максимизирует ли это полезность: [ 20 - 3 \times 3 = 11, \quad 8 - 3 = 5 ] Предельная полезность за рубль для яблок выше, чем для апельсинов после округления, что указывает на то, что можно попробовать увеличить количество яблок. Если купить 4 яблока и 2 апельсина: [ 4 + 5 \times 2 = 14 ] Оставшиеся 6 рублей можно потратить на 6 яблок: [ 4 + 6 = 10 ]
Итого, 10 яблок и 2 апельсина: [ 10 + 5 \times 2 = 20 ]
Таким образом, рациональный потребитель купит 10 яблок и 2 апельсина.
Для определения оптимального количества яблок и апельсинов, которое купит рациональный потребитель, необходимо сравнить предельную полезность каждого продукта с их ценой.
Для яблок: Предельная полезность яблок (20 - 3х) должна быть равна их цене (1 рубль). Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом: 20 - 3х = 1 3х = 19 х = 6,33
Для апельсинов: Предельная полезность апельсинов (40 - 5у) должна быть равна их цене (5 рублей). Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом: 40 - 5у = 5 5у = 35 у = 7
Итак, рациональный потребитель купит 6 яблок и 7 апельсинов, чтобы достигнуть равновесия между предельной полезностью и ценой каждого продукта.
