Конечно, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.
Задача 1.1
Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 80 000 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.
Для расчета ежегодного взноса используем формулу аннуитета:
[ A = \frac{P \cdot r \cdot (1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1} ]
Где:
- ( A ) — ежегодный взнос
- ( P ) — сумма кредита (80 000 тыс. руб.)
- ( r ) — годовая процентная ставка (12% или 0.12)
- ( n ) — срок кредита в годах (10 лет)
Подставляем значения:
[ A = \frac{80 000 \cdot 0.12 \cdot (1 + 0.12)^{10}}{(1 + 0.12)^{10} - 1} ]
Рассчитаем:
[ A = \frac{9 600 \cdot (1.12)^{10}}{(1.12)^{10} - 1} ]
[ = \frac{9 600 \cdot 3.10585}{3.10585 - 1} ]
[ = \frac{29 812.16}{2.10585} ]
[ ≈ 14 160.57 \, \text{тыс. руб.} ]
Задача 1.2
Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 80 000 тыс. руб.
Здесь мы используем формулу расчета будущей стоимости суммы при регулярных взносах:
[ FV = \frac{A \cdot ((1 + r)^n - 1)}{r} ]
Где:
- ( FV ) — будущая стоимость (80 000 тыс. руб.)
- ( A ) — ежегодный взнос
- ( r ) — годовая процентная ставка (12% или 0.12)
- ( n ) — срок (10 лет)
Решаем для ( A ):
[ 80 000 = \frac{A \cdot ((1 + 0.12)^{10} - 1)}{0.12} ]
[ 80 000 = \frac{A \cdot (3.10585 - 1)}{0.12} ]
[ 80 000 = \frac{A \cdot 2.10585}{0.12} ]
[ 80 000 = 17.54875 \cdot A ]
[ A = \frac{80 000}{17.54875} ]
[ A ≈ 4 558.19 \, \text{тыс. руб.} ]
Задача 1.3
Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 80 000 тыс. руб.
Эта задача идентична предыдущей, так что ответ остается тем же:
[ A ≈ 4 558.19 \, \text{тыс. руб.} ]
Задача 1.4
Квартира продана за 80 000 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?
Используем формулу сложного процента:
[ FV = PV \cdot (1 + r)^n ]
Где:
- ( FV ) — будущая стоимость
- ( PV ) — текущая стоимость (80 000 тыс. руб.)
- ( r ) — годовая процентная ставка (12% или 0.12)
- ( n ) — срок (10 лет)
Подставляем значения:
[ FV = 80 000 \cdot (1 + 0.12)^{10} ]
[ = 80 000 \cdot 3.10585 ]
[ ≈ 248 468 \, \text{тыс. руб.} ]
Задача 1.5
Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 000 тыс. руб. под 12% годовых?
Используем формулу будущей стоимости при регулярных взносах:
[ FV = \frac{A \cdot ((1 + r)^n - 1)}{r} ]
Где:
- ( FV ) — будущая стоимость
- ( A ) — ежегодный взнос (80 000 тыс. руб.)
- ( r ) — годовая процентная ставка (12% или 0.12)
- ( n ) — срок (10 лет)
Подставляем значения:
[ FV = \frac{80 000 \cdot ((1 + 0.12)^{10} - 1)}{0.12} ]
[ = \frac{80 000 \cdot (3.10585 - 1)}{0.12} ]
[ = \frac{80 000 \cdot 2.10585}{0.12} ]
[ = 80 000 \cdot 17.54875 ]
[ ≈ 1 403 900 \, \text{тыс. руб.} ]
Задача 1.6
Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 000 тыс. руб?
Используем формулу текущей стоимости аннуитета:
[ PV = \frac{A \cdot (1 - (1 + r)^{-n})}{r} ]
Где:
- ( PV ) — текущая стоимость
- ( A ) — ежегодный взнос (80 000 тыс. руб.)
- ( r ) — годовая процентная ставка (12% или 0.12)
- ( n ) — срок (10 лет)
Подставляем значения:
[ PV = \frac{80 000 \cdot (1 - (1 + 0.12)^{-10})}{0.12} ]
[ = \frac{80 000 \cdot (1 - 0.3220)}{0.12} ]
[ = \frac{80 000 \cdot 0.6780}{0.12} ]
[ = \frac{54 240}{0.12} ]
[ ≈ 452 000 \, \text{тыс. руб.} ]
Задача 1.7
Индейцы продали о. Манхэттен в 1626 году за товары стоимостью $24. Какая сумма накопилась бы на счете сегодня, если бы они вложили эти деньги в банк под 6% годовых? Используйте технику сложного процента.
Используем формулу сложного процента:
[ FV = PV \cdot (1 + r)^n ]
Где:
- ( PV ) — текущая стоимость ($24)
- ( r ) — годовая процентная ставка (6% или 0.06)
- ( n ) — срок (2023 - 1626 = 397 лет)
Подставляем значения:
[ FV = 24 \cdot (1 + 0.06)^{397} ]
Это потребует серьезных вычислений, так что используем калькулятор:
[ FV = 24 \cdot 1.06^{397} ]
[ = 24 \cdot 4.74 \times 10^{9} ]
[ ≈ 1.1376 \times 10^{11} ]
[ ≈ 113 760 000 000 \, \text{USD} ]
Задача 1.8
Стоимость земли, купленной за $8000 повышается на 15% в год (по сложному проценту). Сколько она будет стоить через 3 года?
Используем формулу сложного процента:
[ FV = PV \cdot (1 + r)^n ]
Где:
- ( PV ) — текущая стоимость ($8000)
- ( r ) — годовая процентная ставка (15% или 0.15)
- ( n ) — срок (3 года)
Подставляем значения:
[ FV = 8000 \cdot (1 + 0.15)^{3} ]
[ = 8000 \cdot 1.15^{3} ]
[ = 8000 \cdot 1.520875 ]
[ = 12 167 \, \text{USD} ]
Задача 1.9
Вкладчик хочет получить $8000, вложив сегодня $1000 под 12% годовых. Сколько полных платежных периодов понадобится для осуществления цели?
Используем формулу сложного процента, решая для ( n ):
[ FV = PV \cdot (1 + r)^n ]
[ 8000 = 1000 \cdot (1 + 0.12)^n ]
Решаем для ( n ):
[ 8 = (1.12)^n ]
Логарифмируем обе части:
[ \ln 8 = n \cdot \ln 1.12 ]
[ n = \frac{\ln 8}{\ln 1.12} ]
[ n ≈ \frac{2.079}{0.1133} ]
[ n ≈ 18.34 ]
Требуется около 19 лет.
Задача 1.10
Пенсионный фонд принимает взносы под 10% годовых. Какая сумма будет накоплена к выходу на пенсию, если из зарплаты в конце каждого из 10 лет перечислять в пенсионный фонд $500?
Используем формулу будущей стоимости при регулярных взносах:
[ FV = \frac{A \cdot ((1 + r)^n - 1)}{r} ]
Где:
- ( FV ) — будущая стоимость
- ( A ) — ежегодный взнос ($500)
- ( r ) — годовая процентная ставка (10% или 0.10)
- ( n ) — срок (10 лет)
Подставляем значения:
[ FV = \frac{500 \cdot ((1 + 0.10)^{10} - 1)}{0.10} ]
[ = \frac{500 \cdot (2.593742 - 1)}{0.10} ]
[ = \frac{500 \cdot 1.593742}{0.10} ]
[ = 7968.71 \, \text{USD} ]
Задача 1.11
Каждый год вы получаете от квартиры, сданной в аренду, $600. Эти деньги вы вкладываете в банк под 10% годовых. Сколько денег у вас будет через 5 лет?
Используем формулу будущей стоимости при регулярных взносах:
[ FV = \frac{A \cdot ((1 + r)^n - 1)}{r} ]
Где:
- ( FV ) — будущая стоимость
- ( A ) — ежегодный взнос ($600)
- ( r ) — годовая процентная ставка (10% или 0.10)
- ( n ) — срок (5 лет)
Подставляем значения:
[ FV = \frac{600 \cdot ((1 + 0.10)^{5} - 1)}{0.10} ]
[ = \frac{600 \cdot (1.61051 - 1)}{0.10} ]
[ = \frac{600 \cdot 0.61051}{0.10} ]
[ = 3663.06 \, \text{USD} ]
Задача 1.12
Молодая семья планирует купить квартиру через 5 лет. Ее доходы позволяют в начале каждого года вкладывать в банк $1000 под 10% годовых. Сколько денег будет на счете через 5 лет?
Используем формулу будущей стоимости для аннуитета с выплатой в начале периода:
[ FV = A \cdot \left(\frac{(1 + r)^n - 1}{r}\right) \cdot (1 + r) ]
Где:
- ( FV ) — будущая стоимость
- ( A ) — ежегодный взнос ($1000)
- ( r ) — годовая процентная ставка (10% или 0.10)
- ( n ) — срок (5 лет)
Подставляем значения:
[ FV = 1000 \cdot \left(\frac{(1 + 0.10)^5 - 1}{0.10}\right) \cdot (1 + 0.10) ]
[ = 1000 \cdot \left(\frac{1.61051 - 1}{0.10}\right) \cdot 1.10 ]
[ = 1000 \cdot 6.1051 \cdot 1.10 ]
[ = 6715.61 \, \text{USD} ]
Задача 1.13
Владелец жилой недвижимости планирует заменить кровлю на своих зданиях через 5 лет. Он полагает, что через 5 лет это ему обойдется в $20000. Какую сумму он должен депонировать по окончании каждого года с учетом того, что средства на счете будут накапливаться по годовой ставке 10%?
Используем формулу будущей стоимости при регулярных взносах, решая для ( A ):
[ FV = \frac{A \cdot ((1 + r)^n - 1)}{r} ]
[ 20000 = \frac{A \cdot ((1 + 0.10)^{5} - 1)}{0.10} ]
Решаем для ( A ):
[ 20000 = \frac{A \cdot (1.61051 - 1)}{0.10} ]
[ 20000 = A \cdot 6.1051 ]
[ A = \frac{20000}{6.1051} ]
[ A ≈ 3275.95 \, \text{USD} ]
Задача 1.14
Через 5 лет понадобится $20000. Какую сумму депонировать в начале каждого года на счет в банк, начисляющий 10% годовых?
Используем формулу будущей стоимости для аннуитета с выплатой в начале периода, решая для ( A ):
[ FV = A \cdot \left(\frac{(1 + r)^n - 1}{r}\right) \cdot (1 + r) ]
[ 20000 = A \cdot \left(\frac{(1 + 0.10)^5 - 1}{0.10}\right) \cdot (1 + 0.10) ]
Решаем для ( A ):
[ 20000 = A \cdot 6.1051 \cdot 1.10 ]
[ 20000 = A \cdot 6.71561 ]
[ A = \frac{20000}{6.71561} ]
[ A ≈ 2977.74 \, \text{USD} ]
Задача 1.15
Сколько надо положить на счет в банк под 10% годовых, чтобы через 10 лет купить квартиру за $30000?
Используем формулу сложного процента, решая для ( PV ):
[ FV = PV \cdot (1 + r)^n ]
[ 30000 = PV \cdot (1 + 0.10)^{10} ]
Решаем для ( PV ):
[ 30000 = PV \cdot 2.593742 ]
[ PV = \frac{30000}{2.593742} ]
[ PV ≈ 11564.38 \, \text{USD} ]
Задача 1.16
Через 7 лет необходимо иметь $3000. Достаточно ли положить в банк $1200, если он начисляет процент ежеквартально, годовая ставка равна 10%?
Используем формулу сложного процента для квартальных начислений:
[ FV = PV \cdot \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{n \cdot m} ]
Где:
- ( PV ) — текущая стоимость ($1200)
- ( r ) — годовая процентная ставка (10% или 0.10)
- ( n ) — срок (7 лет)
- ( m ) — количество начислений в году (4)
Подставляем значения:
[ FV = 1200 \cdot \left(1 + \frac{0.10}{4}\right)^{7 \cdot 4} ]
[ = 1200 \cdot (1 + 0.025)^{28} ]
[ = 1200 \cdot 1.025^{28} ]
[ = 1200 \cdot 2.032 ]
[ = 2438.4 \, \text{USD} ]
Нет, $1200 недостаточно.
Задача 1.17
Земельный спекулянт рассчитывает, что через 2 года массив площадью 10 га может быть продан за $1000 за га. Какая сегодняшняя цена позволит спекулянту получить 15% годовой доход?
Используем формулу текущей стоимости:
[ FV = PV \cdot (1 + r)^n ]
Решаем для ( PV ):
[ 1000 \cdot 10 = PV \cdot (1 + 0.15)^2 ]
[ 10000 = PV \cdot 1.3225 ]
[ PV = \frac{10000}{1.3225} ]
[ PV ≈ 7561.65 \, \text{USD} ]
Задача 1.18
Аренда магазина принесет его вкладчику в течение первых трех лет ежегодный доход $3000, в последующие 5 лет доход составит $4500. Определить текущую стоимость совокупного дохода, если ставка дисконта 10%.
Используем формулу текущей стоимости для каждого
