Найти вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных правильных дробей не больше единицы,...

Для нахождения вероятности того, что сумма двух наугад взятых положительных правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше 3/16, можно воспользоваться методом геометрической вероятности.

Пусть первая дробь имеет вид a/b, где a и b - натуральные числа, 0 < a < b. Аналогично, вторая дробь имеет вид c/d, где c и d - натуральные числа, 0 < c < d.

Условие на сумму дробей можно представить следующим образом: a/b + c/d ≤ 1 ad + bc ≤ bd ad - bd ≤ bc - bc d(a - b) ≤ c(b - d) d(b - a) ≥ c(d - b)

Условие на произведение дробей: (a/b) * (c/d) ≤ 3/16 ac/bd ≤ 3/16 16ac ≤ 3bd 16ac - 3bd ≤ 0

Таким образом, чтобы найти вероятность указанных условий, необходимо найти площадь области, ограниченной неравенствами: d(b - a) ≥ c(d - b) 16ac - 3bd ≤ 0

Затем необходимо найти отношение площади этой области к общей площади возможных комбинаций дробей (0 < a < b, 0 < c < d).

Решение этой задачи требует использования методов аналитической геометрии и вероятности.

Для нахождения вероятности этого события необходимо вычислить интеграл от функции плотности вероятности в указанных пределах.

Для решения задачи необходимо рассмотреть два условия одновременно:

1. Сумма двух положительных правильных дробей не больше единицы.
2. Произведение этих двух дробей не больше 3/16.

Предположим, что ( x ) и ( y ) — это две правильные дроби. Это означает, что ( 0 < x < 1 ) и ( 0 < y < 1 ).

Условие 1: ( x + y \leq 1 )

Геометрически это условие можно представить в виде области на координатной плоскости. Всякий раз, когда ( x ) и ( y ) являются правильными дробями, они находятся внутри единичного квадрата (в пределах от 0 до 1 по обоим осям). Условие ( x + y \leq 1 ) образует треугольник с вершинами в точках ((0,0)), ((1,0)) и ((0,1)) внутри этого квадрата.

Условие 2: ( xy \leq \frac{3}{16} )

Это второе условие также можно представить на координатной плоскости как гиперболу ( xy = \frac{3}{16} ). В данном случае нас интересует область под этой гиперболой, опять же в пределах квадрата от 0 до 1.

Теперь нам нужно найти область пересечения этих двух условий на координатной плоскости.

Поиск области пересечения

1. Геометрический анализ:

   Рассмотрим треугольник, который образуется условием ( x + y \leq 1 ). Его площадь равна (\frac{1}{2}), так как это половина единичного квадрата.

2. Гипербола:

   Для гиперболы ( xy = \frac{3}{16} ) найдем точки пересечения с границами треугольника ( x + y = 1 ):

   • Когда ( x = 1 ), то ( y = 0 ), и наоборот.
   • Для ( x = \frac{3}{4} ), ( y = \frac{1}{4} ), так как ( \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{16} ).

   Эти точки помогут нам определить границы пересечения.

Аналитическое решение

Для нахождения вероятности выбранных ( x ) и ( y ), которые удовлетворяют обоим условиям, нужно интегрировать функцию плотности вероятности над областью пересечения.

1. Область интегрирования:

   Площадь ( A ) под гиперболой ( xy = \frac{3}{16} ) и внутри треугольника ( x + y \leq 1 ) можно найти через двойной интеграл. То есть:

   [ A = \iint_{D} dx\,dy, ]

   где ( D ) — область пересечения.

2. Формула интеграла:

   [ A = \int_0^1 \int_0^{1-x} \chi\left(xy \leq \frac{3}{16}\right) dy\,dx, ]

   где ( \chi\left(xy \leq \frac{3}{16}\right) ) — характеристическая функция, равная 1, если ( xy \leq \frac{3}{16} ) и 0 в противном случае.

3. Решение интеграла:

   Упростим задачу:

   [ A = \int_0^{\frac{3}{4}} \int0^{1-x} dy\,dx + \int{\frac{3}{4}}^1 \int_0^{\frac{3}{16x}} dy\,dx. ]

   Решаем по частям:

   [ A = \int0^{\frac{3}{4}} (1-x) dx + \int{\frac{3}{4}}^1 \frac{3}{16x} dx. ]

   Первая часть:

   [ \int_0^{\frac{3}{4}} (1-x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} - \frac{9}{32} = \frac{21}{32}. ]

   Вторая часть:

   [ \int{\frac{3}{4}}^1 \frac{3}{16x} dx = \frac{3}{16} \left[ \ln(x) \right]{\frac{3}{4}}^1 = \frac{3}{16} \left( 0 - \ln\left(\frac{3}{4}\right) \right) = \frac{3}{16} \ln\left(\frac{4}{3}\right). ]

   Итоговая площадь:

   [ A = \frac{21}{32} + \frac{3}{16} \ln\left(\frac{4}{3}\right). ]

Вероятность

Вероятность ( P ) равна площади области пересечения ( A ):

[ P = \frac{21}{32} + \frac{3}{16} \ln\left(\frac{4}{3}\right). ]

Таким образом, вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше (\frac{3}{16}), составляет (\frac{21}{32} + \frac{3}{16} \ln\left(\frac{4}{3}\right)).