Известно, что при Q=50 эластичность предложения по цене равна 2, а при P=20 она равна 1.5. Найти функцию...

Для определения функции предложения необходимо использовать формулу эластичности предложения по цене:

E = (% изменения количества предложения) / (% изменения цены)

При Q=50 и E=2:

2 = (% изменения количества предложения) / (% изменения цены)

При P=20 и E=1.5:

1.5 = (% изменения количества предложения) / (% изменения цены)

Из этих уравнений можно составить систему уравнений и решить ее, чтобы найти функцию предложения.

Для решения этой задачи начнем с определения эластичности предложения по цене. Эластичность предложения по цене определяется как:

[ E_s = \frac{dQ}{dP} \frac{P}{Q} ]

где ( Q ) – количество товара, ( P ) – цена товара, ( \frac{dQ}{dP} ) – производная функции предложения по цене.

По условию задачи, нам даны два значения эластичности при разных ( Q ) и ( P ):

1. ( E_s = 2 ) при ( Q = 50 )
2. ( E_s = 1.5 ) при ( P = 20 )

Чтобы найти функцию предложения, предположим, что она имеет вид линейной функции ( Q = aP + b ). Тогда производная ( \frac{dQ}{dP} ) равна константе ( a ), и эластичность предложения можно выразить как:

[ E_s = a \frac{P}{Q} ]

Из первого условия при ( Q = 50 ) и ( E_s = 2 ):

[ 2 = a \frac{P}{50} ] [ P = 25a ]

Из второго условия при ( P = 20 ) и ( E_s = 1.5 ):

[ 1.5 = a \frac{20}{Q} ] [ Q = \frac{20a}{1.5} = \frac{40a}{3} ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( Q = 50 ) когда ( P = 25a )
2. ( Q = \frac{40a}{3} ) когда ( P = 20 )

Подставим ( P = 20 ) в первое уравнение:

[ 50 = 20a + b ] [ b = 50 - 20a ]

Теперь подставим ( P = 25a ) в выражение для ( Q ):

[ 50 = 25a + b ] [ 50 = 25a + 50 - 20a ] [ 50 = 5a + 50 ] [ 5a = 0 ] [ a = 0 ]

Это противоречие указывает на то, что предположение о линейной функции предложения неверно. Вместо этого, давайте предположим, что функция предложения имеет вид степенной функции:

[ Q = cP^k ]

Тогда:

[ \frac{dQ}{dP} = kcP^{k-1} ] [ E_s = kcP^{k-1} \frac{P}{Q} = kcP^k / Q = kc ]

Используя значения ( E_s ) при разных ( Q ) и ( P ):

1. ( 2 = kc ) при ( Q = 50 ) и ( P = 25a )
2. ( 1.5 = kc ) при ( Q = \frac{40a}{3} ) и ( P = 20 )

Теперь можно решить систему уравнений для нахождения ( c ) и ( k ), а затем найти функцию предложения ( Q = cP^k ).