Функции спроса и предложения имеют соответственно вид: D(p)=100x4p; S(p)=40x+x2p, где р – цена товара (услуги), х некоторый технологический параметр. Равновесная цена определяется равенством спроса и предложения. Найти значение величины х, при котором равновесная цена будет наибольшей, если: а) 1≤ х ≤ 5; б) 3 ≤ х ≤ 6.
Для нахождения равновесной цены, необходимо решить уравнение спроса и предложения:
[ D(p) = S(p) ]
Подставим функции:
[ 100 \cdot 4p = 40x + x^2p ]
Упрощаем уравнение:
[ 400p = 40x + x^2p ]
Перепишем его в виде:
[ 400p - x^2p = 40x ]
[ p(400 - x^2) = 40x ]
Таким образом, равновесная цена определяется как:
[ p = \frac{40x}{400 - x^2} ]
Теперь для нахождения максимальной равновесной цены при заданных диапазонах ( x ), необходимо найти производную данной функции по ( x ) и приравнять её к нулю, а затем решить уравнение.
Аналогично, повторим те же шаги.
С учетом данных диапазонов, значения ( x ) и соответствующие равновесные цены можно будет вычислить для обоих случаев. В случае необходимости, можно использовать численные методы или графический анализ для нахождения максимального значения в указанных интервалах.
Конкретные значения можно получить с помощью численных вычислений.
Для нахождения равновесной цены, необходимо установить равенство между функциями спроса и предложения:
[ D(p) = S(p) ]
Подставим данные функции:
[ 100 \times 4p = 40x + x^2 p ]
Упростим уравнение:
[ 400p = 40x + x^2 p ]
Переносим все члены, содержащие ( p ), в одну сторону:
[ 400p - x^2 p = 40x ]
Факторизуем по ( p ):
[ p(400 - x^2) = 40x ]
Теперь выразим ( p ):
[ p = \frac{40x}{400 - x^2} ]
Чтобы найти максимальное значение равновесной цены ( p ), необходимо исследовать функцию ( p(x) = \frac{40x}{400 - x^2} ). Для этого нужно найти производную и установить, где она равна нулю.
Найдём производную с помощью правила частного:
[ p'(x) = \frac{(400 - x^2) \cdot 40 - 40x \cdot (-2x)}{(400 - x^2)^2} ] [ p'(x) = \frac{40(400 - x^2 + 2x^2)}{(400 - x^2)^2} ] [ p'(x) = \frac{40(400 + x^2)}{(400 - x^2)^2} ]
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
[ 40(400 + x^2) = 0 ]
Однако это уравнение не имеет решений, так как ( 400 + x^2 > 0 ) для всех ( x ). Это значит, что функция ( p(x) ) может иметь экстремумы на границах заданных интервалов.
Теперь подставим значения ( x ) на границах заданных интервалов.
( x = 1 ): [ p(1) = \frac{40 \cdot 1}{400 - 1^2} = \frac{40}{399} \approx 0.1003 ]
( x = 5 ): [ p(5) = \frac{40 \cdot 5}{400 - 5^2} = \frac{200}{375} \approx 0.5333 ]
Следовательно, максимальная равновесная цена в этом интервале достигается при ( x = 5 ).
( x = 3 ): [ p(3) = \frac{40 \cdot 3}{400 - 3^2} = \frac{120}{391} \approx 0.3061 ]
( x = 6 ): [ p(6) = \frac{40 \cdot 6}{400 - 6^2} = \frac{240}{364} \approx 0.6590 ]
В этом интервале максимальная равновесная цена достигается при ( x = 6 ).
Рассмотрим задачу на нахождение равновесной цены, которая определяется равенством спроса и предложения: (D(p) = S(p)). Задача состоит в том, чтобы найти значение параметра (x), при котором равновесная цена будет максимальной.
Функции спроса и предложения заданы как:
Равновесная цена удовлетворяет уравнению: [ D(p) = S(p). ] Подставим выражения для (D(p)) и (S(p)): [ 400x \cdot p = 40x + x^2 \cdot p. ]
Перенесем все слагаемые с (p) в одну часть уравнения: [ 400x \cdot p - x^2 \cdot p = 40x. ] Вынесем (p) за скобки: [ p \cdot (400x - x^2) = 40x. ] Разделим обе части уравнения на ((400x - x^2)), предполагая, что (400x - x^2 \neq 0): [ p = \frac{40x}{400x - x^2}. ]
Таким образом, равновесная цена (p) выражается как: [ p(x) = \frac{40x}{400x - x^2}. ]
Теперь требуется найти максимум функции (p(x)) на заданных интервалах параметра (x).
Рассматриваем функцию: [ p(x) = \frac{40x}{400x - x^2}. ] Для нахождения максимума функции найдем её производную по (x). Обозначим: [ f(x) = \frac{40x}{400x - x^2}. ]
Применим правило производной дроби: [ f'(x) = \frac{(400x - x^2) \cdot 40 - 40x \cdot (400 - 2x)}{(400x - x^2)^2}. ]
Числитель дроби (обозначим его (N(x))) равен: [ N(x) = (400x - x^2) \cdot 40 - 40x \cdot (400 - 2x). ] Раскроем скобки: [ N(x) = 16000x - 40x^3 - (16000x - 80x^2). ] Упростим: [ N(x) = 16000x - 40x^3 - 16000x + 80x^2 = 80x^2 - 40x^3. ] Вынесем общий множитель: [ N(x) = 40x^2 (2 - x). ]
Теперь уравнение (f'(x) = 0) означает: [ N(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 40x^2 (2 - x) = 0. ] Решения: [ x = 0 \quad \text{(не подходит, так как (x \geq 1))}, \quad x = 2. ]
На интервале (1 \leq x \leq 5) проверяем значения (f(x)) в критической точке (x = 2) и на границах интервала ((x = 1) и (x = 5)).
При (x = 1): [ p(1) = \frac{40 \cdot 1}{400 \cdot 1 - 1^2} = \frac{40}{400 - 1} = \frac{40}{399}. ]
При (x = 2): [ p(2) = \frac{40 \cdot 2}{400 \cdot 2 - 2^2} = \frac{80}{800 - 4} = \frac{80}{796}. ]
При (x = 5): [ p(5) = \frac{40 \cdot 5}{400 \cdot 5 - 5^2} = \frac{200}{2000 - 25} = \frac{200}{1975}. ]
Сравниваем значения (p(1)), (p(2)), (p(5)) и выбираем максимальное. Заметим, что точное сравнение требует численных вычислений.
Аналогично шагам выше, находим критические точки и проверяем границы интервала. Критическая точка (x = 2) не принадлежит этому интервалу, поэтому проверяем только границы (x = 3) и (x = 6).
При (x = 3): [ p(3) = \frac{40 \cdot 3}{400 \cdot 3 - 3^2} = \frac{120}{1200 - 9} = \frac{120}{1191}. ]
При (x = 6): [ p(6) = \frac{40 \cdot 6}{400 \cdot 6 - 6^2} = \frac{240}{2400 - 36} = \frac{240}{2364}. ]
Сравниваем значения (p(3)) и (p(6)), выбираем максимальное.
Для каждого из интервалов ((1 \leq x \leq 5) и (3 \leq x \leq 6)) равновесная цена достигает максимума при определённом значении (x), которое можно уточнить численно.
