Допустим, общие затраты фирмы на выпуск Q единиц продукции составляют:Q2 - 16Q + 400.При каких значениях...

Средние и маржинальные затраты достигают минимума, когда производная общих затрат по отношению к Q равна 0. В данном случае производная равна 2Q - 16. Следовательно, минимум средних и маржинальных затрат достигается при Q = 8.

Для определения значений Q, при которых средние и маржинальные затраты достигают минимума, необходимо найти производные от общих затрат по Q и приравнять их к нулю.

Сначала найдем средние затраты (ATC):

ATC = Q2/ Q - 16 + 400/Q

Дифференцируем по Q:

d(ATC)/dQ = 2Q/Q^2 - 16 - 400/Q^2 d(ATC)/dQ = 2 - 16Q^2 - 400/Q^2

Приравниваем к нулю и находим значение Q:

2 - 16Q^2 - 400/Q^2 = 0 16Q^3 + 400 = 2Q^2 16Q^3 - 2Q^2 + 400 = 0

Аналогично для маржинальных затрат (MC):

MC = d(Q2 - 16Q + 400)/dQ MC = 2Q - 16

Приравниваем к нулю и находим значение Q:

2Q - 16 = 0 2Q = 16 Q = 8

Таким образом, средние затраты и маржинальные затраты достигают минимума при Q = 8.

Чтобы найти значения Q, при которых средние и маржинальные затраты достигают минимума, начнем с определения формул этих затрат.

1. Общие затраты (TC): [ TC = Q^2 - 16Q + 400 ]

2. Средние затраты (ATC): Средние затраты — это общие затраты, деленные на количество выпускаемой продукции (Q): [ ATC = \frac{TC}{Q} = \frac{Q^2 - 16Q + 400}{Q} = Q - 16 + \frac{400}{Q} ]

Чтобы найти минимум средних затрат, возьмем производную функции ATC по Q и приравняем ее к нулю:

[ \frac{d(ATC)}{dQ} = \frac{d}{dQ} \left( Q - 16 + \frac{400}{Q} \right) ]

Производная от каждого члена: [ \frac{d(ATC)}{dQ} = 1 - \frac{400}{Q^2} ]

Приравниваем к нулю для нахождения экстремума: [ 1 - \frac{400}{Q^2} = 0 ]

Решаем это уравнение: [ \frac{400}{Q^2} = 1 ] [ Q^2 = 400 ] [ Q = \sqrt{400} ] [ Q = 20 ]

Таким образом, средние затраты достигают минимума при ( Q = 20 ).

1. Маржинальные затраты (MC): Маржинальные затраты — это производная функции общих затрат (TC) по Q: [ MC = \frac{d(TC)}{dQ} = \frac{d}{dQ} \left( Q^2 - 16Q + 400 \right) ]

Производная от каждого члена: [ MC = 2Q - 16 ]

Чтобы найти минимум маржинальных затрат, приравняем производную функции MC по Q к нулю и решим:

Но сначала найдем вторую производную общих затрат: [ \frac{d^2(TC)}{dQ^2} = \frac{d}{dQ}(2Q - 16) = 2 ]

Так как вторая производная равна 2 (положительное значение), это указывает на то, что функция линейна и не имеет минимума или максимума внутри области определения. Следовательно, маржинальные затраты минимальны при минимальном значении Q, которое может быть в заданном контексте (обычно рассматриваем Q > 0).

Таким образом, маржинальные затраты линейно возрастают с увеличением Q и не имеют внутреннего минимума.

Итак, подведем итоги:

• Средние затраты достигают минимума при ( Q = 20 ).
• Маржинальные затраты не имеют внутреннего минимума, так как они линейно возрастают с Q.