Дана функция полезности U = 2XY, где Х и У – объемы потребления благ. Известны цены: РХ = 8, РУ = 5,...

Для определения оптимального набора благ необходимо решить задачу максимизации функции полезности U = 2XY при ограничениях бюджета и цен на блага.

Учитывая, что доход потребителя I = 96, цена блага X РХ = 8 и цена блага Y РУ = 5, мы можем записать ограничение бюджета в виде уравнения: 8X + 5Y = 96.

Также, для нахождения оптимального набора благ необходимо найти условие оптимальности, которое в данном случае представляется в виде равенства между предельной полезностью блага Х и цены на благо X, а также между предельной полезностью блага Y и ценой на благо Y:

dU/dX = 2Y = РХ dU/dY = 2X = РУ

Решая эту систему уравнений, получаем оптимальные объемы потребления благ: Y = РХ/2 = 8/2 = 4 X = РУ/2 = 5/2 = 2.5

Таким образом, оптимальный набор благ состоит из 2.5 единиц блага X и 4 единиц блага Y. Общая полезность, извлекаемая из потребления оптимального набора благ, равна U = 22.54 = 20.

Итак, оптимальный набор благ для потребителя в данном случае будет состоять из 2.5 единицы блага X и 4 единиц блага Y, при этом общая полезность составит 20.

Для определения оптимального набора благ найдем оптимальные объемы потребления Х и У, используя условие равенства предельных отношений цен и предельной полезности благ:

MUx / Px = MUy / Py

MUx = dU/dX = 2Y MUy = dU/dY = 2X

Уравнение равенства предельных отношений цен и предельной полезности благ примет вид:

2Y / 8 = 2X / 5 5Y = 16X

Также учитывая бюджетное ограничение:

8X + 5Y = 96

Решив систему уравнений, найдем оптимальные объемы потребления Х и У: X = 4, Y = 8

Общая полезность, извлекаемая из потребления оптимального набора благ, будет равна U = 2 4 8 = 64.

Чтобы определить оптимальный набор благ и величину общей полезности, извлекаемой из потребления этого набора, следует решить задачу максимизации полезности при ограниченном бюджете. Дана функция полезности:

[ U = 2XY ]

где ( X ) и ( Y ) – объемы потребления благ ( X ) и ( Y ), соответственно. Цены благ:

[ P_X = 8 ] [ P_Y = 5 ]

и доход потребителя:

[ I = 96 ]

1. Запись бюджетного ограничения:

[ P_X \cdot X + P_Y \cdot Y = I ] [ 8X + 5Y = 96 ]

1. Формирование функции Лагранжа:

Для решения задачи максимизации полезности при бюджетном ограничении используем метод Лагранжа. Формируем функцию Лагранжа:

[ \mathcal{L}(X, Y, \lambda) = 2XY + \lambda (96 - 8X - 5Y) ]

где ( \lambda ) – множитель Лагранжа.

1. Нахождение частных производных и их равенство нулю:

Находим частные производные функции Лагранжа по ( X ), ( Y ) и ( \lambda ):

[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = 2Y - 8\lambda = 0 ] [ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Y} = 2X - 5\lambda = 0 ] [ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 96 - 8X - 5Y = 0 ]

1. Решение системы уравнений:

Из первых двух уравнений можем выразить ( \lambda ):

[ \lambda = \frac{2Y}{8} = \frac{Y}{4} ] [ \lambda = \frac{2X}{5} ]

Приравниваем два выражения для ( \lambda ):

[ \frac{Y}{4} = \frac{2X}{5} ] [ 5Y = 8X ] [ Y = \frac{8}{5}X ]

Подставим это выражение в бюджетное ограничение:

[ 8X + 5 \left( \frac{8}{5}X \right) = 96 ] [ 8X + 8X = 96 ] [ 16X = 96 ] [ X = 6 ]

Теперь найдем ( Y ):

[ Y = \frac{8}{5} \cdot 6 = 9.6 ]

1. Определение общей полезности:

Подставляем найденные значения ( X ) и ( Y ) в функцию полезности:

[ U = 2XY = 2 \cdot 6 \cdot 9.6 = 115.2 ]

Таким образом, оптимальный набор благ, который максимизирует полезность при данном бюджетном ограничении, составляет ( X = 6 ) и ( Y = 9.6 ). Величина общей полезности, извлекаемой из потребления оптимального набора благ, равна 115.2.