1. Найти разложение вектора AH по векторам AB, AD, AA1 A (1,1,1), B (0,1,0), D (0,2,1), A1 (2,0,3) 2....

1. Вектор AH = AB + AD - AA1 = (-1, 1, -1) + (1, 2, 0) - (-1, 1, -2) = (1, 2, 1)

2. Координаты точки H = (1, 1, 1) Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором AH = (1/√6, 2/√6, 1/√6)

1. Для нахождения разложения вектора AH по векторам AB, AD, AA1 нужно воспользоваться методом компонент вектора.

Сначала найдем векторы AB, AD, AA1: AB = B - A = (0-1, 1-1, 0-1) = (-1, 0, -1) AD = D - A = (0-1, 2-1, 1-1) = (-1, 1, 0) AA1 = A1 - A = (2-1, 0-1, 3-1) = (1, -1, 2)

Теперь найдем коэффициенты разложения вектора AH по векторам AB, AD, AA1. Обозначим эти коэффициенты как x, y, z соответственно: AH = xAB + yAD + zAA1

Подставляем значения векторов: (1, 1, 1) = x(-1, 0, -1) + y(-1, 1, 0) + z(1, -1, 2)

Решаем систему уравнений:

• x - z = 1
• y + z = 1
• x + y + 2z = 1

Решение этой системы уравнений даст нам коэффициенты x, y, z, которые и будут искомым разложением вектора AH.

1. Для нахождения координат вектора AH, направленного по высоте параллелепипеда, проведенной из точки A к плоскости основания A1B1C1D1, нужно вычислить проекцию вектора AH на направление высоты параллелепипеда.

Для этого сначала найдем направляющий вектор высоты параллелепипеда. Вектор высоты параллелепипеда будет перпендикулярен плоскости основания A1B1C1D1 и равен векторному произведению векторов A1B1 и A1D1: n = A1B1 x A1D1

Затем найдем координаты точки H на высоте параллелепипеда, проходящей через точку A: H = A + t*n

Для нахождения координат единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором AH, нужно нормализовать вектор AH: u = AH / ||AH||

Где ||AH|| - длина вектора AH.

Для решения этих задач нужно последовательно использовать векторную алгебру и геометрические принципы. Перейдём к подробному разбору.

Задача 1: Найти разложение вектора AH по векторам AB, AD, AA1

Для начала определим векторы AB, AD и AA1:

• ( \vec{AB} ) = B - A = (0, 1, 0) - (1, 1, 1) = (-1, 0, -1)
• ( \vec{AD} ) = D - A = (0, 2, 1) - (1, 1, 1) = (-1, 1, 0)
• ( \vec{AA1} ) = A1 - A = (2, 0, 3) - (1, 1, 1) = (1, -1, 2)

Теперь найдём координаты вектора AH. Поскольку H - это проекция A на плоскость основания A1B1C1D1, нам нужно определить нормаль к этой плоскости и найти её проекцию.

Векторы AD и AA1 можно использовать для нахождения нормали к плоскости основания:

• ( \vec{AD} = (-1, 1, 0) )
• ( \vec{AA1} = (1, -1, 2) )

Найдем вектор нормали: [ \vec{n} = \vec{AD} \times \vec{AA1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-1) \cdot 2 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 1) ] [ = 2\mathbf{i} - (-2)\mathbf{j} + 0\mathbf{k} ] [ = (2, 2, -1) ]

Теперь нам нужно найти точку H, которая будет проекцией точки A на плоскость основания. Для этого используем формулу проекции точки на плоскость:

Плоскость можно задать уравнением: [ 2x + 2y - z + d = 0 ]

Чтобы найти d, подставим точку A1 (2, 0, 3): [ 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 + d = 0 ] [ 4 - 3 + d = 0 ] [ d = -1 ]

Уравнение плоскости: [ 2x + 2y - z - 1 = 0 ]

Теперь найдем координаты H, проекции точки A на эту плоскость. Для этого используем формулу проекции точки на плоскость:

[ H = A - \frac{f(A)}{|\vec{n}|^2} \vec{n} ] где ( f(A) = 2\cdot1 + 2\cdot1 - 1 - 1 = 2 )

[ |\vec{n}|^2 = 2^2 + 2^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9 ]

[ H = (1, 1, 1) - \frac{2}{9}(2, 2, -1) ] [ H = (1, 1, 1) - \left(\frac{4}{9}, \frac{4}{9}, -\frac{2}{9}\right) ] [ H = \left(1 - \frac{4}{9}, 1 - \frac{4}{9}, 1 + \frac{2}{9}\right) ] [ H = \left(\frac{5}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9}\right) ]

Координаты точки H: (\left(\frac{5}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9}\right)).

Теперь находим вектор AH: [ \vec{AH} = H - A = \left(\frac{5}{9} - 1, \frac{5}{9} - 1, \frac{11}{9} - 1\right) ] [ = \left(\frac{5}{9} - \frac{9}{9}, \frac{5}{9} - \frac{9}{9}, \frac{11}{9} - \frac{9}{9}\right) ] [ = \left(-\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9}\right) ]

Теперь разложим вектор AH по векторам AB, AD, AA1: [ \vec{AH} = x\vec{AB} + y\vec{AD} + z\vec{AA1} ] [ \left(-\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9}\right) = x(-1, 0, -1) + y(-1, 1, 0) + z(1, -1, 2) ]

Решим систему уравнений: [ -\frac{4}{9} = -x - y + z ] [ -\frac{4}{9} = 0x + y + (-z) ] [ \frac{2}{9} = -x + 0y + 2z ]

Из второго уравнения: [ -\frac{4}{9} = y - z ] [ y = -\frac{4}{9} + z ]

Подставим это в первое уравнение: [ -\frac{4}{9} = -x - \left(-\frac{4}{9} + z\right) + z ] [ -\frac{4}{9} = -x + \frac{4}{9} ] [ x = -\frac{8}{9} ]

Теперь подставим x в третье уравнение: [ \frac{2}{9} = - \left(-\frac{8}{9}\right) + 2z ] [ \frac{2}{9} = \frac{8}{9} + 2z ] [ 2z = \frac{2}{9} - \frac{8}{9} ] [ 2z = -\frac{6}{9} ] [ z = -\frac{3}{9} ] [ z = -\frac{1}{3} ]

Теперь найдём y: [ y = -\frac{4}{9} + \left(-\frac{1}{3}\right) ] [ y = -\frac{4}{9} - \frac{3}{9} ] [ y = -\frac{7}{9} ]

Таким образом, разложение вектора AH: [ \vec{AH} = -\frac{8}{9}\vec{AB} - \frac{7}{9}\vec{AD} - \frac{1}{3}\vec{AA1} ]

Задача 2: Найти координаты вектора AH, направленного по высоте параллелепипеда

Из предыдущего анализа, координаты точки H: [ H = \left(\frac{5}{9}, \frac{5}{9}, \frac{11}{9}\right) ]

И вектор AH: [ \vec{AH} = \left(-\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9}\right) ]

Найдём единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором AH: [ |\vec{AH}| = \sqrt{\left(-\frac{4}{9}\right)^2 + \left(-\frac{4}{9}\right)^2 + \left(\frac{2}{9}\right)^2} ] [ = \sqrt{\frac{16}{81} + \frac{16}{81} + \frac{4}{81}} ] [ = \sqrt{\frac{36}{81}} ] [ = \sqrt{\frac{4}{9}} ] [ = \frac{2}{3} ]

Единичный вектор: [ \hat{AH} = \frac{\vec{AH}}{|\vec{AH}|} = \frac{1}{\frac{2}{3}}\left(-\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9}\right) ] [ = \frac{3}{2}\left(-\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}, \frac{2}{9}\right) ] [ = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) ]

Таким образом, координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором AH: [ \hat{AH} = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) ]